Question

【題目】如圖，直線y＝kx+2與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求k的值和拋物線的解析式．

（2）M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，連接BN．

①若△BPN是直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

②當(dāng)∠PBN＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．（注：當(dāng)k1k2＝﹣1時(shí)，直線y＝k1x+b1與直線y＝k2x+b2垂直）

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣， y＝﹣x2+x+2；（2）①點(diǎn)N（，）；②m＝或m＝

【解析】

（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①分和兩種情況討論，即可求解；

②有兩解，點(diǎn)在的上方或下方，作輔助線，構(gòu)建等腰直角三角形，由 得，設(shè)，則由，得，，根據(jù)，可得和的解析式，分別與拋物線聯(lián)立方程組，可得結(jié)論．

解：（1）把代入中得，，

，

直線的解析式為：，

，

把和代入拋物線中，

則，

解得：，

二次函數(shù)的表達(dá)式為：；

（2）①當(dāng)時(shí)，且，

，

，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，

，

（舍去），，

點(diǎn)坐標(biāo)，；

當(dāng)時(shí)，

直線的解析式為：，

，

（舍去），，

點(diǎn)N（，）；

②有兩解，點(diǎn)在的上方或下方，

如圖2，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．

由 得，

，

設(shè)，則由，

，

得，，

由，解得，

，

從而，

即，，

由，，得：

直線，直線．

則，

解得：（舍），，

即；

則，

解得：（舍，；

即；

故與.