Question

【題目】如圖，A（12，0），B（0，9）分別是平面直解坐標(biāo)系xOy坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且與AB相切的動(dòng)圓與x軸、y軸分別相交與點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（　�。�

A.B.10C.7.2D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接OF，OD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，FO+FD≥OD；只有當(dāng)點(diǎn)F、O、D共線時(shí)，FO+FD=PQ有最小值，最小值為OD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABO的斜邊AB的高OD上時(shí)，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)OD＝＝＝7.2.

解：如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、OF、OD，則FD⊥AB．

∵A（12，0）、B（0，9），

∴AO＝12，BO＝9，

∴AB＝15，

∴∠AOB＝90°，

∴PQ是圓F的直徑，

∴FO+FD＝PQ，

∴FO+FD≥OD，

當(dāng)點(diǎn)F、O、D共線時(shí)，PQ有最小值，此時(shí)PQ＝OD，

∴OD＝＝＝7.2．

故選：C．