Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸是．

（1）求拋物線(xiàn)解析式．

（2）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M（點(diǎn)m不與點(diǎn)C重合），使△MAB與△ABC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，M（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）設(shè)△ABM的邊AB上的高為h，分情況討論即可得.

試題解析：（1）y=x+2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣4，

即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），

∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣，

∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=2，

即拋物線(xiàn)解析式是y=﹣x2﹣x+2；

（2）存在，

理由是：設(shè)△ABM的邊AB上的高為h，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

∴OC=2，

∵S△ABC=AB×OC=×AB×2，

∵△MAB與△ABC的面積相等，

∴AM×h=×AB×2，

∴h=2，

當(dāng)點(diǎn)M在x軸的上方時(shí)，把y=2代入y=﹣x2﹣x+2得：x=0或x=﹣3，

∵M(jìn)點(diǎn)和C點(diǎn)不重合，C的坐標(biāo)為（0，2），

∴M的坐標(biāo)為（﹣3，2）；

當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，把y=﹣2代入y=﹣x2﹣x+2得：﹣2=﹣x2﹣x+2，

解得：x=或x=，

此時(shí)M的坐標(biāo)為（，﹣2）或（，﹣2）；

綜合上述：拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），使△MAB與△ABC的面積相等，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．