Question

【題目】如圖1，作∠BPC平分線的反向延長(zhǎng)線PA，現(xiàn)要分別以∠APB，∠APC，∠BPC為內(nèi)角作正多邊形，且邊長(zhǎng)均為1，將作出的三個(gè)正多邊形填充不同花紋后成為一個(gè)圖案．例如，若以∠BPC為內(nèi)角，可作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，此時(shí)∠BPC=90°，而=45是360°（多邊形外角和）的，這樣就恰好可作出兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個(gè)符合要求的圖案，如圖2所示．

圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是_____；

在所有符合要求的圖案中選一個(gè)外輪廓周長(zhǎng)最大的定為會(huì)標(biāo)，則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是_____．

Answer 1

【答案】 14 21

【解析】根據(jù)圖2將外圍長(zhǎng)相加可得圖案外輪廓周長(zhǎng)；設(shè)∠BPC=2x，先表示中間正多邊形的邊數(shù)：外角為180°﹣2x，根據(jù)外角和可得邊數(shù)=，同理可得兩邊正多邊形的外角為x，可得邊數(shù)為，計(jì)算其周長(zhǎng)可得結(jié)論．

圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是：8﹣2+2+8﹣2=14；

設(shè)∠BPC=2x，

∴以∠BPC為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：，

以∠APB為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：，

∴圖案外輪廓周長(zhǎng)是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，

根據(jù)題意可知：2x的值只能為60°，90°，120°，144°，

當(dāng)x越小時(shí)，周長(zhǎng)越大，

∴當(dāng)x=30時(shí)，周長(zhǎng)最大，此時(shí)圖案定為會(huì)標(biāo)，

則則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是=﹣6=21，

故答案為：14，21．