Question

【題目】（2016湖南省益陽(yáng)市）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D為AB的中點(diǎn)，EF為△ACD的中位線(xiàn)，四邊形EFGH為△ACD的內(nèi)接矩形（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在△ACD的邊上）．

（1）計(jì)算矩形EFGH的面積；

（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上時(shí)停止移動(dòng)．在平移過(guò)程中，當(dāng)矩形與△CBD重疊部分的面積為時(shí)，求矩形平移的距離；

（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為矩形E1F1G1H1，將矩形E1F1G1H1繞G1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，當(dāng)H1落在CD上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，求cosα的值．

Answer 1

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知，由直角三角形的性質(zhì)可知AB=2，從而求得AD，CD，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)可得EF，DF，利用三角函數(shù)可得GF，由矩形的面積公式可得結(jié)果；

（2）首先利用分類(lèi)討論的思想，分析當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為三角形時(shí)（0＜x≤），利用三角函數(shù)和三角形的面積公式可得結(jié)果；當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時(shí)（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，設(shè)DQ=m，則H2Q=，又，，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函數(shù)解得cosα．

試題解析：（1）如圖①，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，

又∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=1，CD=AB=1，

又∵EF是△ACD的中位線(xiàn)，∴EF=DF=，

在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，

在△FGD中，GF=DFsin60°=，∴矩形EFGH的面積S=EFGF==；

（2）如圖②，設(shè)矩形移動(dòng)的距離為x，則0＜x≤；

當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為三角形時(shí)，則0＜x≤，S=，∴x=．（舍去）；

當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時(shí)，則＜x≤，重疊部分的面積S=，∴x=，即矩形移動(dòng)的距離為時(shí)，矩形與△CBD重疊部分的面積是；

（3）如圖③，作H2Q⊥AB于Q，設(shè)DQ=m，則H2Q=，又，．

在Rt△H2QG1中，，解之得m=（負(fù)的舍去），

∴cosα===．