Question

12．（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：
x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²．
（2）觀察上述三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，
有（-2）²=4×1×1，30²=4×25×9，12²=4×9×4，于是小明猜測(cè)：若多項(xiàng)式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么實(shí)系數(shù)a、b、c之間一定存在某種關(guān)系．
①請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系b²=4ac．
②解決問題：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項(xiàng)式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數(shù)，m≥n，求系數(shù)m與n的值．
（3）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項(xiàng)式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的規(guī)律求mn的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)完全平方公式分解即可；
（2）①根據(jù)已知等式得出b²=4ac，即可得出答案；
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根據(jù)規(guī)律得出m²=8n且n²=8m，組成一個(gè)方程，求出mn即可．

解答 解：（1）x²-2x+1=（x-1）²，25x²+30x+9=（5x+3）²，9x²+12x+4=（3x+2）²，
故答案為：（x-1）²，（5x+3）²，（3x+2）²；

（2）①b²=4ac，
故答案為：b²=4ac；

②∵關(guān)于x的多項(xiàng)式mx²+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數(shù)，m≥n，
∴8²=4mn，
∴只有三種情況：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2；

（3）∵關(guān)于x的多項(xiàng)式x²+mx+2n和x²+nx+2m都是完全平方式，
∴m²=4×2n=8n且n²=4×2m=8m，
∴m²n²=64mn，
∴m²n²-64mn=0，
∴mn（mn-64）=0，
∴mn=0（舍去）或mn=64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)完全平方公式的理解和應(yīng)用，能根據(jù)完全平方公式得出b²=4ac是解此題的關(guān)鍵．