Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC的垂直平分線EF交AC于O，分別交BC、AD于點E、F．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求EC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5．

【解析】

（1）根據EF是AC的垂直平分線，四邊形ABCD是矩形，可得OA=OC，∠AOF=∠COE=90°，AD∥BC，∠FAO=∠ECO，利用ASA可證，可得四邊形AECF是平行四邊形，根據EF⊥AC，得到平行四邊形AECF是菱形；

（2）根據勾股定理可求菱形的邊長．

（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE=90°

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO

在和中

∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE，

∴(ASA)，

∴OF=OE

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形

又∵EF⊥AC，

∴平行四邊形AECF是菱形

（2）設EC=x，

∵四邊形AECF是菱形，則：AE=CE=x， BE=8-x

在中，由勾股定理得

，

∴

解得：

即EC=5