Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長(zhǎng)方形沿AC折疊，點(diǎn)D落在D′處．

（1）求證：△AFD′≌△CFB；

（2）求線段BF的長(zhǎng)度；

（3）試求出重疊部分△AFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF=3；（3）10.

【解析】

(1)由翻折的性質(zhì)可得AD’=CB，再由對(duì)頂角可得∠AFD’=∠CFB，再∠D’=∠B=90°，則可證兩三角形全等；

(2)設(shè)BF為x，則由三角形全等可得CF=AF=8-x，題干已知BC=4，故利用勾股定理BC2+FB2=CF2可求解；

(3)求解出AF長(zhǎng)度，以AF為底，BC長(zhǎng)度為高，利用三角形面積公式即可求解.

解：（1）由折疊可得，∠D'=∠D=∠B=90°，AD'=AD=BC，

在△AD'F和△CBF中，

∵∠AFD’=∠CFB，∠D’=∠B=90°，AD’=CB，

∴△AFD≌△CFB（AAS）；

（2）由折疊可得，∠ACF=∠ACD，

∵CD∥AB，

∴∠CAF=∠ACD，

∴∠ACF=∠CAF，

∴AF=CF，

設(shè)BF=x，則AF=CF=8﹣x，

∵∠B=90°，

∴在Rt△BCF中，BF2+CB2=CF2，

即42+x2=（8﹣x）2，

解得x=3，

∴BF=3；

（3）∵AF=8﹣3=5，BC=4，CB⊥AF，

∴S△ACF=AF×BC=×5×4=10．