Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，點P在邊AB上運動，過點P作PQ⊥AB交折線AC-CB于點Q，Rt△EDF的斜邊EF在射線BC上，DF∥AB，DF=AP，且DF與AB的距離為$\frac{AP}{2}$，設(shè)△EDF與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長為x（0＜x＜6）
（1）求線段PQ的長（用含x的代數(shù)式表示）．
（2）當EF在邊BC上時，若以點Q、P、D、E為頂點的四邊形的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{3}$，求x的值．
（3）當點Q在邊AC上時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出直線PD與△ABC的邊垂直時線段PD的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題．
（2）由題意DE=DF=AP=PQ，∵PQ∥DE，TC 四邊形PQED是平行四邊形，可得$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3=x•（6-2x-$\frac{1}{2}$x），解方程即可．
（3）分兩種情形討論①0＜x＜≤2時，重疊部分是△DEF．②當2＜x≤3時，如圖2中，重疊部分是四邊形DFCG，分別求解即可．
（4）分三種情形①如圖3中，當PD⊥BC時．②如圖4中，當PD⊥AB時．③如圖5中，當PA=PB時，可證PD⊥AC．分別求解即可．

解答 解：（1）∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=45°，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ=90°，
∴∠A=∠PQA=45°，
∴PQ=PA=x（0＜x＜6）．

（2）如圖1中，連接EQ，PD，延長ED交AB于G，作FH⊥AB于H．則四邊形DGFH是矩形，DF=GH=x，F(xiàn)H=BH=$\frac{1}{2}$x，

由題意DE=DF=AP=PQ，∵PQ∥DE，
∴四邊形PQED是平行四邊形，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3=x•（6-2x-$\frac{1}{2}$x），
解得x=$\frac{6±\sqrt{6}}{5}$．
∴x=$\frac{6±\sqrt{6}}{5}$時，點Q、P、D、E為頂點的四邊形的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{3}$．

（3）①當DE+DG=3時，即x+$\frac{1}{2}$x=3，x=2時，點E與點C重合，
∴0＜x＜≤2時，重疊部分是△DEF，y=$\frac{1}{2}$x²
②當2＜x≤3時，如圖2中，重疊部分是四邊形DFCG，

y=S_△DEF-S_△ECG=$\frac{1}{2}$x²-（x+$\frac{1}{2}$x-3）²=-$\frac{7}{4}$x²+9x-9，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤2）}\\{-\frac{7}{4}{x}^{2}+9x-9}&{（2＜x≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如圖3中，當PD⊥BC時，延長PD交BC于G，則△PGB是等腰直角三角形．

作GH⊥PB于H，
∵GH=$\frac{1}{2}$PB，
∴x=$\frac{1}{2}$（6-x），
∴x=2，
∴PA=DF=2，PB=4，PG=2$\sqrt{2}$，DG=$\sqrt{2}$，
∴PD=$\sqrt{2}$．
②如圖4中，當PD⊥AB時，

由題意x+x+$\frac{1}{2}$x=6，
x=$\frac{12}{5}$．
∴PA=DF=DE=$\frac{12}{5}$，PB=PE=$\frac{18}{5}$，
∴PD=PE-DE=$\frac{6}{5}$．
③如圖5中，當PA=PB時，易知DF是△ABC的中位線，AD=CD，∵PA=PC，∴PD⊥AC，此時x=3，PD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

綜上所述，PD=$\sqrt{2}$或$\frac{6}{5}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，直線PD與△ABC的邊垂直．

點評 本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、多邊形面積問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構(gòu)建方程，用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．