Question

4．等腰直角△ABO在直角坐標系的位置如圖所示，O為原點，點B為y軸正半軸上任意一點，點A在x軸負半軸上，P為直線x=1上任一點，將△ABO繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O′．
（1）求旋轉(zhuǎn)后點B′與點P的縱坐標之差為1；
（2）若旋轉(zhuǎn)后的△A′B′O′有兩點同時落在拋物線y=x²上，則此時點P的坐標為（1，3）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)OA=a（a＞0），由△ABO為等腰直角三角形即可得出點A、B、O的坐標，設(shè)點P的坐標為（1，b），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出點A′、B′、O′的坐標，結(jié)合點P的坐標即可得出結(jié)論；
（2）由點A′、B′、O′的坐標，即可得知分點O′、B′同時在拋物線y=x²上和點A′與B′同時在拋物線y=x²上兩種情況考慮，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于a、b的二元二次方程組，解之即可得出結(jié)論，再根據(jù)a＞0即可找出b值，從而得出點P的坐標．

解答 解：（1）設(shè)OA=a（a＞0），則A（-a，0），B（0，a），O（0，0），設(shè)點P的坐標為（1，b）．
∵將△ABO繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O′，
∴A′（1-b，b+a+1），O′（1-b，b+1），B′（1-b+a，b+1），
∴點B′與點P的縱坐標之差為b+1-b=1．
故答案為：1．
（2）∵A′（1-b，b+a+1），O′（1-b，b+1），B′（1-b+a，b+1），點A′、O′橫坐標相同，
∴三點中不可能同時為A′、O′．
①當點O′、B′同時在拋物線y=x²上時，$\left\{\begin{array}{l}{b+1=（1-b）^{2}}\\{b+1=（1-b+a）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴b=3，即點P的坐標為（1，3）；
②當點A′與B′同時在拋物線y=x²上時，$\left\{\begin{array}{l}{b+a+1=（1-b）^{2}}\\{b+1=（1-b+a）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴此種情況不存在．
綜上所述：點P的坐標為（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點A′、B′、O′的坐標；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列出關(guān)于a、b的二元二次方程組．