Question

【題目】如圖：、是銳角的兩條高，、分別是、的中點(diǎn)，若EF=6，.

（1）證明：；

（2）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）MN垂直平分EF，證明見(jiàn)解析；（3）MN＝.

【解析】

（1）依據(jù)BE、CF是銳角△ABC的兩條高，可得∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，進(jìn)而得出∠ABE＝∠ACF；

（2）連接EM、FM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝FM＝BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答；

（3）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解：（1）∵BE、CF是銳角△ABC的兩條高，

∴∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，

∴∠ABE＝∠ACF；

（2）MN垂直平分EF．

證明：如圖，連接EM、FM，

∵BE、CF是銳角△ABC的兩條高，M是BC的中點(diǎn)，

∴EM＝FM＝BC，

∵N是EF的中點(diǎn)，

∴MN垂直平分EF；

（3）∵EF＝6，BC＝24，

∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，

由勾股定理得，MN＝．