Question

 (1)如圖(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m, CE⊥直線(xiàn)m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.

(2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3) 拓展與應(yīng)用：如圖(3)，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

 

Answer 1

證明：(1)∵BD⊥直線(xiàn)m,CE⊥直線(xiàn)m

∴∠BDA＝∠CEA=90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD………………1分

又AB=AC

∴△ADB≌△CEA………………2分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD= BD+CE ………………3分

(2)∵∠BDA =∠BAC=_，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE………………4分

∵∠BDA=∠AEC=_，AB=AC

∴△ADB≌△CEA………………5分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°]

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE………………8分

∵BF=AF

∴△DBF≌△EAF………………9分

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF為等邊三角形.