Question

6．如圖，以邊長(zhǎng)為1的正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，再以所得四邊形四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第n個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為$4{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，先求出第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)四邊形邊長(zhǎng)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求出第n個(gè)四邊形邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)．

解答 解：∵第一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)為：$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，周長(zhǎng)為4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
第二個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)為：$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，周長(zhǎng)為4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
第三個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)為：$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，周長(zhǎng)是：4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，
…
∴第n個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，周長(zhǎng)為4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，
故答案為：4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出每個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．