Question

【題目】如圖（1），已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求直線y=3與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖⑴所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖（2）所示）．

①當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說(shuō)明理由；

②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問(wèn)S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)為和；（2）①點(diǎn)不在直線上，理由詳見(jiàn)解析；②存在最大值，最大值為．

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+4，將（0，0）代入求出a，再把代入即可解決問(wèn)題；

（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求出ME的解析式，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷P點(diǎn)是否在直線ME上．

②設(shè)出點(diǎn)N（t，﹣（t﹣2）2+4），可以表示出PN的值，根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求出結(jié)論．

（1）因所求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可設(shè)其關(guān)系式為

又拋物線經(jīng)過(guò)，于是得，

解得

所求函數(shù)關(guān)系式為，

即

把代入得

解得：，

直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)為和

（2）①點(diǎn)不在直線上．

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的關(guān)系式為

于是得，

解得

所以直線的關(guān)系式為．

由已知條件易得，當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線的關(guān)系式．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在直線上．

②存在最大值．

理由如下：

點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，且在拋物線上，

．

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

，

，

（i）當(dāng)，即或時(shí)，

以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為，

．

（ii）當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形．

，，

其中，由，，此時(shí)最大．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值，這個(gè)最大值為．

說(shuō)明：（ii）中的關(guān)系式，當(dāng)和時(shí)也適合