Question

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結CB與DG交于點N．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：△ACM∽△DCN；
（3）若點M是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BN=．

試題分析：（1）根據切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；
（3）根據已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質得出NB的長即可．
（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切線；
（2）證明：如圖，∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN；

（3）解：∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC=，
∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
，
，
∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，
∴由垂徑定理得：CD=2CE=2，
∵△ACM∽△DCN，
∴ ，
∵點M是CO的中點，CM=AO=×4=2，
∴CN=，
∴BN=BC-CN=2-=．