Question

【題目】已知拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的頂點(diǎn)為A，交y軸交于點(diǎn)C，過C作CB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l⊥x軸，連結(jié)OA并延長(zhǎng)，交l于點(diǎn)D，連結(jié)OB．

（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求線段OB的長(zhǎng)．

（2）是否存在特定的a值，使得△OBD為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出求a值的計(jì)算過程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）設(shè)△OBD的外心M的坐標(biāo)為（m，n），求m與n的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）a＝﹣1或﹣；（3）m＝3n2+2

【解析】

由y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），可得點(diǎn)C（0，3a）、對(duì)稱軸為：x＝2，點(diǎn)B（4，3a），點(diǎn)A（2，﹣a），點(diǎn)D（4，﹣2a）；

（1）把a=-1代入求得點(diǎn)B（4，﹣3），繼而可得OB長(zhǎng)；

（2）分OD＝OB、OD＝BD、OB＝BD三種情況，分別求解即可；

（3）線段OD的中垂線的表達(dá)式為：y＝x﹣a﹣…①，線段BD的中垂線的表達(dá)式為：y＝a…②，聯(lián)立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，即可求解．

y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，

所以點(diǎn)C（0，3a）、

函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝2，

所以點(diǎn)B（4，3a），

當(dāng)x=2時(shí)，y= a（2﹣1）（2﹣3）=-a，

所以點(diǎn)A（2，﹣a），

設(shè)OA的解析式為y=kx，

把A（-2，a）代入，得a=-2k，得k=，

所以直線OA：y=x，

當(dāng)x=4時(shí)，y=-2a，

所以點(diǎn)D（4，﹣2a）；

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，點(diǎn)B（4，﹣3），故OB＝=5；

（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，

①當(dāng)OD＝OB時(shí)，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）；

②當(dāng)OD＝BD時(shí)，同理可得：a＝﹣或a＝（正值舍去）；

③當(dāng)OB＝BD時(shí)，同理可得：a＝﹣1或a=1（正值舍去）；

綜上，a＝﹣1或﹣；

（3）線段OD的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣ax，直線OD的中點(diǎn)為點(diǎn)A（2，﹣a），

則線段OD的中垂線的表達(dá)式為：y＝x+b，

將點(diǎn)A（2，﹣a）代入上式得：-a=+b，

解得：b=-a-，

所以線段OD的中垂線的表達(dá)式為：y＝x﹣a﹣…①，

線段BD的中垂線的表達(dá)式為：y＝a…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，

故m＝3n2+2．