Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一點，將△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是G，過點B作BE⊥CG，垂足為E，且在AD上，BE交PC于點F，則下列結論，其中正確的結論有（　　）

①BP＝BF；②若點E是AD的中點，那么△AEB≌△DEC；③當AD＝25，且AE＜DE時，則DE＝16；④在③的條件下，可得sin∠PCB＝；⑤當BP＝9時，BEEF＝108．

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據折疊的性質∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，從而證明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性質得出AE=DE,即可利用條件證明△ABE≌△DCE;③先根據題意證明△ABE∽△DEC,再利用對應邊成比例求出DE即可;④根據勾股定理和折疊的性質得出△ECF∽△GCP,再利用對應邊成比例求出BP,即可算出sin值;⑤連接FG,先證明BPGF是菱形,再根據菱形的性質得出△GEF∽△EAB,再利用對應邊成比例求出BE·EF．

①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，

∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，

∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF＝∠PFB，

∴∠BPF＝∠BFP，

∴BP＝BF；

故①正確；

②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，

∵E是AD中點，

∴AE＝DE，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE(SAS)；

故②正確；

③當AD＝25時，

∵∠BEC＝90°，

∴∠AEB+∠CED＝90°，

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠CED＝∠ABE，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

設AE＝x，

∴DE＝25﹣x，

∴，

∴x＝9或x＝16，

∵AE＜DE，

∴AE＝9，DE＝16；

故③正確；

④由③知：CE＝，BE＝，

由折疊得，BP＝PG，

∴BP＝BF＝PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

設BP＝BF＝PG＝y，

∴，

∴y＝，

∴BP＝，

在Rt△PBC中，PC＝，

∴sin∠PCB＝；

故④不正確；

⑤如圖，連接FG，

由①知BF∥PG，

∵BF＝PG＝PB，

∴BPGF是菱形，

∴BP∥GF，FG＝PB＝9，

∴∠GFE＝∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BEEF＝ABGF＝12×9＝108；

故⑤正確，

所以本題正確的有①②③⑤，4個，

故選：C．