Question

【題目】已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OD=OE，且OB＝OC.
（1）如圖，若點O在BC上，求證：AB＝AC；

（2）如圖，若點O在△ABC的內部，求證：AB＝AC；

（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示.

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）， （1）由HL判斷出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根據全等三角形對應角相等得出∠ABC=∠ACB ，根據等角等等邊得出AB=AC ；

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC

（2）證明：過點O分別作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如圖）

【解析】 （1）由HL判斷出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根據全等三角形對應角相等得出∠ABC=∠ACB ，根據等角等等邊得出AB=AC ；
（2）過點O分別作OD⊥AB于D，EF⊥AC于E，根據HL判斷出Rt△ODB≌Rt△OEC ，根據全等三角形的性質得出∠OBD=∠OCE，由根據等邊對等角得出∠OBC=∠OCB，從而得出∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊得出AB=AC；
（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如圖）
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質定理和線段垂直平分線的性質，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等即可以解答此題．