Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=﹣ （x﹣h）2+k與x軸交于A、B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于H，直線y= x+ 經(jīng)過點A與對稱軸交于E，點E的縱坐標為3．

（1）求h、k的值；
（2）點P為第四象限拋物線上一點，連接PH，點Q為PH的中點，連接AQ、AP，設(shè)點P的橫坐標為t，△AQP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點Q作y軸的平行線QK，過點D作y軸的垂直DK，直線QK、DK交于點K，連接PK、EK，若2∠DKE+∠HPK=90°，求點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點E的縱坐標為3，

∴3= x+ ，

解得：x=2，

∴D點的橫坐標是2，

∴h=2，

∵直線y= x+ 經(jīng)過點A，

∴A（﹣2，0）代入y=﹣ （x﹣h）2+k得，0=﹣ （﹣2﹣h）2+k，

∴k=4；

（2）解：如圖1，設(shè)P的橫坐標為t，則縱坐標為﹣ t2+t+3，

∵點Q為PH的中點，

∴S△APQ=S△AQH，

∴S△APQ= S△AHP，

∵S△AHP= AH（ t2﹣t﹣3），

∵AH=4，

∴S= ×4×（（ t2﹣t﹣3）= t2﹣t﹣3（t＞6）；

（3）解：如圖2，過P作x軸、y軸的平行線分別交DH，KQ于M，N，交直線DK于R，

則四邊形DKNM，四邊形KNPR是矩形，

設(shè)MN=m，

∴DK=KR=m，

∴P點的橫坐標為2m+2，代入y=﹣ （x﹣2）2+4中，

得到P點的縱坐標為：﹣m2+4，∴DM=RP=m2，

∴tan∠DKE= = ，

∴∠DKE=∠KPR，

∴EK⊥PK，

∵2∠DKE+∠HPK=90°，∠DKE=∠KPR，∠BHP+∠HPK+∠KPR=90°，

∴∠DKE=∠PHB，

∴tan∠DKE=tan∠PHB，

∴ = ，

∴m=± （m=﹣ 舍去），

∴m= ，

∴點P的橫坐標為2+2 ．

【解析】（1）先求出E的橫坐標，等于D的橫坐標，即h值，再把A坐標代入拋物線解析式求出k;（2）由“Q為PH的中點”可知△APQ與△AHP是同高等底三角形，面積相等，因此可用t的代數(shù)式表示S△AHP，再乘以;(3)由"2∠DKE+∠HPK=90°"可推出∠DKE=∠KPR，∠BHP+∠HPK+∠KPR=90°，∠DKE=∠KPR，根據(jù)二者的正切定義構(gòu)建等式，求出m.