Question

【題目】某商店銷(xiāo)售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷(xiāo)售量y(件)是售價(jià)x(元/件)的一次函數(shù)，其售價(jià)、周銷(xiāo)售量、周銷(xiāo)售利潤(rùn)w(元)的三組對(duì)應(yīng)值如表：

售價(jià)x(元/件)	30	40	60
周銷(xiāo)售量y(件)	90	70	30
周銷(xiāo)售利潤(rùn)w(元)	450	1050	1050

注：周銷(xiāo)售利潤(rùn)=周銷(xiāo)售量×(售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍)；

（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，周銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（3）由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件(m＞0)，物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品售價(jià)不得超過(guò)45元/件，該商店在今后的銷(xiāo)售中，周銷(xiāo)售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若周銷(xiāo)售最大利潤(rùn)是1080元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+150；（2）售價(jià)定為50元時(shí)，周銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元；（3）m=2

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)y=kx+b，將x=30，y=90以及x=40，y=70代入即可解答；

（2）根據(jù)售價(jià)為30元時(shí)，銷(xiāo)售量為90件，周銷(xiāo)售利潤(rùn)為450元，可求出進(jìn)價(jià)為25元，再根據(jù)周銷(xiāo)售利潤(rùn)=周銷(xiāo)售量×(售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大利潤(rùn)；

（3）表達(dá)出，根據(jù)對(duì)稱軸為直線，以及-2＜0可知，當(dāng)x≤45時(shí)，w隨x增大而增大，進(jìn)而確定當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值，列出方程即可解答．

解：（1）設(shè)y=kx+b，將x=30，y=90以及x=40，y=70代入得

，解得：k=-2，b=150，

∴y=-2x+150

（2）∵售價(jià)為30元時(shí)，銷(xiāo)售量為90件，周銷(xiāo)售利潤(rùn)為450元，

∴進(jìn)價(jià)為：30-450÷90=25（元）

∴，

∵-2＜0，

∴當(dāng)時(shí)，w=1250（元）為最大周利潤(rùn)；

故售價(jià)定為50元時(shí)，周銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元；

（3）根據(jù)題意可得：，

∵對(duì)稱軸為直線，

又∵-2＜0，

∴當(dāng)x≤45時(shí)，w隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=45元時(shí)，w有最大值為1080元，

∴，

解得：m=2，

故m=2．