【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn),AE⊥EF.有下列結(jié)論:①∠BAE=30°;②射線FE是∠AFC的角平分線;③AE2=ADAF;④AF=AB+CF.其中正確結(jié)論為是______.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))
【答案】②③④
【解析】
①根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì),利用銳角三角函數(shù)可以得到∠BAE是否等于30°;
②根據(jù)題目中的條件,可以求得∠AEB和∠CFE的正切值,從而可以得到射線FE是否為∠AFC的角平分線;
③由題中條件可得△CEF∽△BAE,進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段成比例,進(jìn)而又可得出△ABE∽△AEF,即可得出題中結(jié)論;
④根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定與性質(zhì),可以得到AF=AB+CF是否成立.
解:∵在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),∠B=∠C=90°,
∴AB=BC,BE=AB,
∴tan∠BAE==,
∵tan30°=,
∴∠BAE≠30°,故①錯(cuò)誤;
∵∠B=∠C=90°,AE⊥EF,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠CEF=90°,∠CFE+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF,∠BEA=∠CFE,
∴△ABE∽△ECF,
∴
∵AB=2BE=2CE,
∴EC=2CF,
設(shè)CF=a,則EC=BE=2a,AB=4a,
∴在Rt△ABE中,AE=a,
在Rt△CEF中,EF=a,tan∠CFE=2,
∴tan∠AFE==2,
∴∠AFE=∠CFE,
即射線FE是∠AFC的角平分線,故②正確;
∵∠AFE=∠CFE,∠AEF=∠C,
∴∠EAF=∠CEF,
∵∠BAE=∠CEF,
∴∠BAE=∠EAF,
∴△ABE∽△AEF,
∴,
∴AE2=ABAF,
∵AD=AB,
∴AE2=ADAF,故③正確;
作EG⊥AF于點(diǎn)G,
∵FE平分∠AFC,∠C=90°,
∴EG=EC,
∴EG=EB,
∵∠B=∠AGE=90°,
在Rt△ABE和Rt△AGE中
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)
∴AB=AG,
又∵CF=GF,AF=AG+GF,
∴AF=AB+CF,故④正確,
由上可得,②③④正確,
故答案為:②③④.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第36屆全國信息學(xué)冬令營(yíng)在廣州落下帷幕,長(zhǎng)郡師生閃耀各大賽場(chǎng),金牌數(shù)、獎(jiǎng)牌數(shù)均穩(wěn)居湖南省第一.學(xué)校擬預(yù)算7700元全部用于購買甲、乙、丙三種圖書共20套獎(jiǎng)勵(lì)獲獎(jiǎng)師生,其中甲種圖書每套500元,乙種圖書每套400元,丙種圖書每套250元,設(shè)購買甲種圖書x套,乙種圖書y套,請(qǐng)解答下列問題:
(1)請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出自變量的取值范圍);
(2)若學(xué)校購買的甲、乙兩種圖書共14套,求甲、乙圖書各多少套?
(3)若學(xué)校購買的甲、乙兩種圖書均不少于1套,則有哪幾種購買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把八個(gè)完全相同的小球平分為兩組,每組中每個(gè)分別寫上1,2,3,4四個(gè)數(shù)字,然后分別裝入不透明的口袋內(nèi)攪勻,從第一個(gè)口袋內(nèi)取出一個(gè)數(shù)記下數(shù)字后作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x,然后再從第二個(gè)口袋中取出一個(gè)球記下數(shù)字后作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo),則點(diǎn)P(x,y)落在直線y=﹣x+5上的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B及y軸上的點(diǎn)C,經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為.
①求拋物線的解析式.
②點(diǎn)P從A出發(fā),在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā),在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求t為何值時(shí),△PBE的面積最大并求出最大值.
③過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N(不與點(diǎn)B、C重合)作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q.若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點(diǎn),交直線y=kx于P.
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)若OP=PA,求k的值;
(3)在(2)的條件下,C是線段BP上一點(diǎn),CE⊥x軸于E,交OP于D,若CD=2ED,求C點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(x>0)的圖象與直線y=x+1交于點(diǎn)A(2,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知點(diǎn)P(n,0),過點(diǎn)P作平行于 y 軸的直線,交直線y=x+1于點(diǎn)B,交函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)C.若y=(x>0)的圖象在點(diǎn)A、C之間的部分與線段AB、BC所圍成的區(qū)域內(nèi)(不包括邊界),記作圖形G.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).
①當(dāng)n=4時(shí),直接寫出圖形G的整點(diǎn)坐標(biāo);
②若圖形G 恰有2 個(gè)整點(diǎn),直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示為二次函數(shù)的圖象,在下列結(jié)論
①;
②時(shí),隨的增大而增大;
③;
④方程的根是;
中正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè).
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖,直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,作DF平行x軸交直線BC于點(diǎn)F,求△DEF周長(zhǎng)的最大值.
(3)已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),且位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),是否存在以點(diǎn)P,M,N,Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;
(3)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)△ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sin∠ODC的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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