Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，A點(diǎn)在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，矩形一角經(jīng)過(guò)翻折后，頂點(diǎn)B落在OA邊的點(diǎn)G處，折痕為EF，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，1），∠FGA=30°．

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求直線EF解析式．
（3）若點(diǎn)M在y軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)N，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，1），

∴FA=1，OA=4，

∵∠FGA=30°，

∴GA= ，F(xiàn)G=2，

由折疊的性質(zhì)知BF=FG=2，

∴AB=3，

∵四邊形OABC為矩形，

∴CB=OA=4，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；

（2）解：∠AFG=90°﹣30°=60°，由折疊的性質(zhì)知∠EFB=∠EFG= （180°﹣60°）=60°，

∴BE= BF=2 ，

∴CE=4﹣2 ，

∴E（4﹣2 ，4），

設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴直線EF的解析式是y=﹣ x+2 +1

（3）解：①如圖1中，當(dāng)四邊形MNGF是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣ ，

∵點(diǎn)N在直線EF上，

∴N（﹣ ，2 + ）．

②如圖2中，當(dāng)四邊形MNFG是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為 ，

∵點(diǎn)N在直線EF上，

∴N（ ，2 ﹣ ）．

③如圖3中，當(dāng)四邊形MFNG是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)M坐標(biāo)為（0， ）

∵FG與MN相互垂直平分，

∴N（8﹣ ，2﹣ ）．

【解析】（1）利用翻折不變性即可解決問(wèn)題；（2）求出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)四邊形MNGF是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣ ，由此即可解決問(wèn)題；②如圖2中，當(dāng)四邊形MNFG是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為 ，由此即可解決問(wèn)題；③如圖3中，當(dāng)四邊形MFNG是平行四邊形時(shí)，易知點(diǎn)M坐標(biāo)為（0， ），根據(jù)FG與MN相互垂直平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可；
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和勾股定理的概念，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．