Question

【題目】如圖，Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ABD折疊得到△AB’D，AB'與邊BC交于點(diǎn)E．若△DEB’為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

由勾股定理可求出AB，若△DEB′為直角三角形，則有（1）∠EDB′=90°，（2）∠DEB′=90°兩種情況，因此分別畫(huà)出圖形，在第（1）種情況中，由折疊和三角形的內(nèi)角和可證△ACE∽△BCA，求出CE、AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DE、EB′，在Rt△DEB′中，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可，在第（2）種情況中，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，求出EB′，在Rt△DEB′中，由勾股定理列方程求解即可．

解：在Rt△ACB中，

∵ ∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

又∵ 以AD為折痕將△ABD折疊得到△ABD，

∴BD=BD，AB=AB=5，

∵△DEB為直角三角形，

∴①如圖1所示：當(dāng)∠BDE=90°時(shí)，過(guò)B作BF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F，

設(shè)BD=BD=x，

∴AF=AC+CF=3+x，BF=CD=CB-BD=4-x，

在Rt△AFB中，

∴AF2+BF2=AB2 ，

即(3+x)2+(4-x)2=52 ，

解得：x=1或x=0(舍去)，

∴BD=BD=1，

②如圖2所示：當(dāng)∠BED=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，

∵AB=5，AC=3，

∴BE=AB-AC=5-3=2，

設(shè)BD=BD=y，

∴CD=BC-BD=4-y，

在Rt△BDE中，

∴BE2+DE2=DB2 ，

即(4-y)2+22=y2 ，

解得：y= ，

∴BD=BD= ，

綜上所述：BD的長(zhǎng)為1或.

故答案為：1或.