Question

確定自然數(shù)n的值，使關(guān)于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，并求出此兩根．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)方程兩根為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=4n-5，可得出兩根之和為奇數(shù)，然后可得出x₁與x₂必有一個(gè)為2，令其中一個(gè)為2，代入方程后解出n的值，然后分別將n的值代入驗(yàn)證即可．
解答：解：設(shè)方程兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=4n-5，
∵4n-5是奇數(shù)，即x₁+x₂是奇數(shù)，
∴x₁與x₂必定一奇一偶，而x₁與x₂都是質(zhì)數(shù)，
故必有一個(gè)為2，不妨設(shè)x₁=2，則2×2²-（8n-10）×2-（n²-35n+76）=0，
∴n=3或n=16，
當(dāng)n=3時(shí)，原方程即2x²-14x+20=0，此時(shí)兩根為x₁=2，x₂=5，
當(dāng)n=16時(shí)，原方程即2x²-118x+228=0，此時(shí)兩根為x₁=2，x₂=57．
點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系及質(zhì)數(shù)與合數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵得出兩根之中有一個(gè)為2．