Question

確定自然數(shù)n的值，使關于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的兩根均為質數(shù)，并求出此兩根．

Answer 1

設方程兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=4n-5，
∵4n-5是奇數(shù)，即x₁+x₂是奇數(shù)，
∴x₁與x₂必定一奇一偶，而x₁與x₂都是質數(shù)，
故必有一個為2，不妨設x₁=2，則2×2²-（8n-10）×2-（n²-35n+76）=0，
∴n=3或n=16，
當n=3時，原方程即2x²-14x+20=0，此時兩根為x₁=2，x₂=5，
當n=16時，原方程即2x²-118x+228=0，此時兩根為x₁=2，x₂=57．