Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使△EDC的周長最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)E（，0）；（3）PB2的值為16+8．

【解析】

(1)求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，3)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(2)如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接CD′交x軸于點(diǎn)E，則此時EC+ED為最小，△EDC的周長最小，即可求解；

(3)分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，由勾股定理可求解．

(1)直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，

令x=0，則y=3，令y=0，則x=3，

∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，3)，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

，解得：，

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接CD′交x軸于點(diǎn)E，此時EC+ED為最小，則△EDC的周長最小，

令x=0，則﹣x2+2x+3=0，

解得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，

∵y=﹣x2+2x+3，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(0，﹣3)，

設(shè)直線C′D的表達(dá)式為，

將C′、D的坐標(biāo)代入得，

解得：，

∴直線C′D的表達(dá)式為：y=7x﹣3，

當(dāng)y=0時，x=，

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0)；

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，如圖2，

∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，3)，

∴OB=OC=3，則∠OCB=45°=∠APB，

過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，設(shè)PH=BH=a，

則PB=PA=a，

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，

∴16=a2+(a﹣a)2，解得：a2=8+4，

則PB2=2a2=16+8；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，

同理可得．

綜合以上可得，PB2的值為16+8．