Question

【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖為她們剌繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，研究發(fā)現(xiàn)第個(gè)圖案中共有個(gè)；小正方形．(為整數(shù)，且)

（1）請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)圖案中有____個(gè)小正方形；

（2）猜想第個(gè)圖案和第個(gè)圖案中小正方形個(gè)數(shù)之差為

（3）證明（2）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）41；（2）4n；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）首先觀察給出的四個(gè)圖，可以得出正方體的個(gè)數(shù)分別為，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解．
（2）根據(jù)（1）得出的一般規(guī)律，可寫(xiě)出第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)，再與第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)做差即可得解．
（3）利用數(shù)列的求和公式可得第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：，利用此規(guī)律可寫(xiě)出第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是，再讓它們做差即可得證．

（1）∵第一個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

第二個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

第三個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

第四個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

∴第五個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

故答案是：

（2）∵由（1）可知第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：

∴第個(gè)圖案和第個(gè)圖案中小正方形個(gè)數(shù)之差為

∴第個(gè)圖案和第個(gè)圖案中小正方形個(gè)數(shù)之差為

故答案是：

（3）證明：根據(jù)題意，得第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為

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第個(gè)圖案和第個(gè)圖案中正方形個(gè)數(shù)之差為