Question

2．已知拋物線y=ax²+c的頂點(diǎn)為P，它與直線y=x+1交于兩點(diǎn)A（1，m），B（n，-1），與x軸交于C、D兩點(diǎn)，試求拋物線的表達(dá)式及△PCD的面積．

Answer 1

分析 先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出m、n的值，則可確定A（1，2），B（-2，-1），再把A點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+c得到$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，于是得到拋物線的解析式為y=-x²+3，則可寫出P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），然后根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：∵直線y=x+1過點(diǎn)A（1，m），B（n，-1），
∴m=1+1，n+1=-1，解得m=2，n=-2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
∵拋物線y=ax²+c過點(diǎn)A（1，2），B（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)y=0時，-x²+3=0，解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，
∴C（-$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，0），
∴△PCD的面積=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）×3=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．