Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（a,0）,B(0,b),a,b滿足=0,C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO＝PD,DE⊥AB于E.

（1）求∠OAB的度數

（2）當點P運動時，PE的長是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求PE的長

（3）若∠OPD＝45度，求點D的坐標

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）3；（3）（，0）

【解析】分析：（1）根據非負數的性質即可求得a、b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此可求；

（2）根據等腰直角三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可得證△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度可根據等腰直角三角形的性質可求；

（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質，證得∠POC=∠DPE，即可得到△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標.

詳解：（1）根據題意得：a=b,a-3=0.解得：a=b＝3，∴OA=OB

又∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形,∠OAB=45°。

（2）PE值不變。

理由：∵△AOB是等腰直角三角形,且AC=BC, ∴∠AOC=∠BOC=45°,

又因OC垂直AB于C，故PO=PD,∴∠POD=∠PDO. 又因∠POD=45°+∠POC,

∠POD=45°+∠DPE∴∠POC=∠DPE。

∴在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE. ∴OC=PE

又因OC=AB=3, ∴PE=3

（3）∵PO=PD, ∴∠POD=∠PDO==67.5°

∴∠PDA=180°－∠PDO＝180°－67.5°＝112.5°

∵∠POD=∠A+∠APD,

∴∠APD=67.5°－45°＝22.5°, ∴∠BPO=180°－∠OPD－∠APD＝112.5°

∴∠PDA=∠BPO

∴在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA（AAS）

PA=OB= 3， ,DA=PB= 6－3

∴ OD=OA－DA=3－（6－3）＝6－6

∴ D（6－6，0）