Question

【題目】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖②，若四邊形ABCD滿足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）連接BD，證明Rt△ABD≌Rt△CDB得AD＝CB，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形可得結(jié)論；

（2）分別過點(diǎn)B、D作BE⊥AD于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，證明△ABE≌△CDF，進(jìn)而證明四邊形EBFD是矩形，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論．

（1）證明：如圖①，連接BD，

∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，

AB＝CD，BD＝DB，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．

∴AD＝CB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠A＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形．

（2）如圖②，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥AD于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE＝DF，AE＝CF，

由（1）可得四邊形EBFD是矩形，

∴ED＝BF，

∴AD＝BC，

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．