Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，

∴OD∥AC，

∴∠CED=∠ODE．

∵DE⊥AC，

∴∠CED=∠ODE=90°．

∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠BDA=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

在Rt△CED中，cos∠C= ，cos30°= ，

解得：CD=4 ，

∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=4 ，

∴AC=AB，

∴∠B=∠C=30°，

在Rt△ABD中．cos∠B= ，cos30°= ，

解得AB=8，

故⊙O的半徑為4．

【解析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．此題可運(yùn)用三角形的中位線定理證OD∥AC，因?yàn)镈E⊥AC，所以O(shè)D⊥DE．（2）通過(guò)相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB或圓的半徑的值即可．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和解直角三角形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．