Question

【題目】如圖，正方形中，點分別在線段上運動，且滿足，分別與相交于點，下列說法中：①；②點到線段的距離一定等于正方形的邊長；③若，則；④若，，則．其中結論正確的是___________；（將正確的序號填寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖，根據旋轉的性質得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根據全等三角形的性質得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正確；過A作AG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到AB=AG，于是得到點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；故②正確；根據三角函數的定義設BE=m，AB=2m，求得CE=m，設DF=x，則CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，根據勾股定理得到x=m，于是得到tan∠DAF= ；故③正確；求得EF=BE+DF=5，設BC=CD=n，根據勾股定理即可得到結論．

如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，

由旋轉的性質得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEH中

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+BH=BE+DF=EF，

故①正確；

過A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE=∠ABE=90°，

在△ABE與△AGE中

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AB=AG，

∴點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；故②正確；

∵tan∠BAE==，

∴設BE=m，AB=2m，

∴CE=m，

設DF=x，則CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，

∵CF2+CE2=EF2，

∴（2m-x）2+m2=（m+x）2，

∴x=m，

∴tan∠DAF=；故③正確；

∵BE=2，DF=3，

∴EF=BE+DF=5，

設BC=CD=n，

∴CE=n-2，CF=n-3，

∴EF2=CE2+CF2，

∴25=（n-2）2+（n-3）2，

∴n=6（負值舍去），

∴AG=6，

∴S△AEF=×6×5=15．故④正確，

故答案為：①②③④．