Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線于點G，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　 　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）線段AC，AG，AH什么關系？請說明理由；

（3）設AE＝m，

①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化．請求出S與m的函數(shù)關系式；如果不變化，請求出定值．

②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）結論：AC2＝AGAH．理由見解析；（3）①△AGH的面積不變．②m的值為或3或12﹣6．.

【解析】

（1）證明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；

（2）結論：AC2=AGAH．只要證明△AHC∽△ACG即可解決問題；

（3）①△AGH的面積不變．理由三角形的面積公式計算即可；

②分三種情形分別求解即可解決問題.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴AC＝，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，

∴∠AHC＝∠ACG．

故答案為＝．

（2）結論：AC2＝AGAH．

理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，

∴△AHC∽△ACG，

∴，

∴AC2＝AGAH．

（3）①△AGH的面積不變．

理由：∵S△AGH＝AHAG＝AC2＝×（4）2＝16．

∴△AGH的面積為16．

②如圖1中，當GC＝GH時，易證△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，

∵BC∥AH，

∴,

∴AE＝AB＝．

如圖2中，當CH＝HG時，

易證AH＝BC＝4，

∵BC∥AH，

∴＝1，

∴AE＝BE＝3．

如圖3中，當CG＝CH時，易證∠ECB＝∠DCF＝22.5．

在BC上取一點M，使得BM＝BE，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，

∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，

∴CM＝EM，設BM＝BE＝m，則CM＝EMm，

∴m+m＝6，

∴m＝6（﹣1），

∴AE＝6﹣6（﹣1）＝12﹣6，

綜上所述，滿足條件的m的值為或3或12﹣6．