Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系

（1）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）若在線段AB上有一動點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

（3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對稱軸上有一點(diǎn)F，且以O、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2；（3）在拋物線上存在三個點(diǎn)：E1（，-），E2（，），E3（-，），使以O、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）在Rt△ABC 中，根據(jù)∠BAC的正切函數(shù)可求得AC=4，再根據(jù)勾股定理求得AB，設(shè)OC=m，連接OH由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m．在Rt△AOH 中，根據(jù)勾股定理可求得m的值，即可得到點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x-），再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得結(jié)果；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，設(shè)動點(diǎn)P（t，），則M（t，），先表示出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（3）設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D，先求得拋物線的對稱軸，與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱．分AO為平行四邊形的對角線時(shí)，AO為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

（1）在Rt△ABC 中，

∵BC=3 ，tan∠BAC=，

∴AC=4．

∴AB=．

設(shè)OC=m，連接OH

由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，

∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．

∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4-m)2，得 m=．

∴OC=，OA=AC－OC=，

∴O（0，0） A（，0），B（-，3）．

設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．

把x=，y=3代入解析式，得a=．

∴y=x（x-）=．

即過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得

，解之得，．

∴直線AB的解析式為y=．

設(shè)動點(diǎn)P（t，），則M（t，）．

∴d=（）—（）=—=

∴當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2．

（3）設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D．

∵y== ，

∴拋物線的對稱軸x=，頂點(diǎn)D（，-）．

根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱．

當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（）．

當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=，知拋物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或，即或，

分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y=中，得點(diǎn)E（，）或E（-，）．

所以在拋物線上存在三個點(diǎn)：E1（，-），E2（，），E3（-，），使以O、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．