Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y= x2﹣ x+3 與x軸交于點A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸，且交拋物線于點D，連接AD，交y軸于點E，連接AC．

（1）求S△ABD的值；
（2）如圖2，若點P是直線AD下方拋物線上一動點，過點P作PF∥y軸交直線AD于點F，作PG∥AC交直線AD于點G，當△PGF的周長最大時，在線段DE上取一點Q，當PQ+ QE的值最小時，求此時PQ+ QE的值；
（3）如圖3，M是BC的中點，以CM為斜邊作直角△CMN，使CN∥x軸，MN∥y軸，將△CMN沿射線CB平移，記平移后的三角形為△C′M′N′，當點N′落在x軸上即停止運動，將此時的△C′M′N′繞點C′逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)度數(shù)不超過180°），旋轉(zhuǎn)過程中直線M′N′與直線CA交于點S，與y軸交于點T，與x軸交于點W，請問△CST是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的WN′的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則2 x2﹣33x+36 =0，

解得x= 或4 ．

∴A（ ，0），B（4 ，0），C（0，3 ），

∵CD∥AB，

∴S△DAB=S△ABC= ABOC= × × = ．

（2）解：如圖2中，設P（m， m2﹣ m+3 ）．

∵A（ ，0），D（ ，3 ），

∴直線AD的解析式為y= x﹣ ，

∵PF∥y軸，

∴F（m， m﹣ ），

∵PG⊥DE，

∴△PGF的形狀是相似的，

∴PF的值最大時，△PFG的周長最大，

∵PF= m﹣ ﹣（ m2﹣ m+3 ）=﹣ m2+ m﹣ ，

∴當m=﹣ = 時，PF的值最大，此時P（ ，﹣ ），

作P關于直線DE的對稱點P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，

∵△QEM∽△EAO，

∴ = = ，

∴QM= QE，

∴PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，

∴當P′、Q、M共線時，PQ+ EQ的值最小，

易知直線PP′的解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，可得G（ ， ），

∵PG=GP′，

∴P′（ ， ），

∴P′M= + = ，

∴PQ+ EQ的最小值為 ．

（3）解：①如圖3中，當CS=CT時，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，

∵ = = = = ，

∴OK= =3 ﹣6 ，

易證∠BWN′=∠OCK，

∴tan∠BWN′=tan∠OCK= = ，

∵BN′=2 ，

∴WN′=2 +4 ．

②如圖4中，當TC=TS時，

易證∠BWN′=∠OAC，

∴tan∠BWN′=tan∠OAC= = ，

∴WN′= ，

③如圖5中，當TS=TC時，延長N′B交直線AC于Q，作BG⊥AQ于G，QR⊥AB于R．

∵TS=TC，

∴∠TSC=∠TCS=∠ACO，

∵∠TSC+∠SQN′=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BQA=∠OAC=∠BAQ，

∴BA=BQ，

∴AG=GQ，設AQ=a，則易知BG=a，BQ=AB= a，

∵ AQBG= ABQR，

∴QR= a，BR= a，

∴tan∠WBN′=tan∠QBR= = ，

∴WN′= ．

④如圖6中，當CS=CT時，

由①可知，在Rt△BN′W中，tan∠N′BW= = ，

∴N′W=2 ﹣4 ．

綜上所述，滿足條件的WN′的長為2 +4 或 或 或2 ﹣4 ．

【解析】（1）令y=0，代入拋物線的解析式，求出A,B,C的坐標，由CD∥AB，推出S△DAB=S△ABC，由此即可解決問題；
（2）首先說明PF的值最大時，△PFG的周長最大，然后說明當當m=- = 時,PF的值最大，此時P（，），作P關于直線DE的對稱點P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO對應邊成比例推出QM= QE，推出PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出P,Q,M三點共線時，PQ+ EQ的值最小，易知直線PP′的解析式，聯(lián)系直線AD的解析式與直線PP′的解析式求出G點的坐標，進而找到P′的坐標，得到P′M的長度即可；
（3）分兩種情況討論：①如圖3中，當CS=CT時，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G，由tan∠BWN′=tan∠OCK構(gòu)建方程即可解決問題，②如圖4中，當TC=TS時，由tan∠BWN′=tan∠OAC構(gòu)建方程即可解決問題。
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對應的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．