【題目】對于平面內(nèi)的點和點,給出如下定義:點為平面內(nèi)一點,若點使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形,則稱點是點關(guān)于點的銳角等腰點.如圖,點是點關(guān)于點的銳角等腰點.

在平面直角坐標系xOy中,點O為坐標原點

(1)已知點,在點,, ,中,是點關(guān)于點的銳角等腰點的是

(2)已知點,點在直線上,若點是點關(guān)于點的銳角等腰點,求實數(shù)的取值范圍.

(3) 軸上的動點,,,點是以點為圓心,2為半徑的圓上一動點.且滿足,若直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,請直接寫出的取值范圍.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)直接根據(jù)銳角等腰點的概念和等腰三角形的性質(zhì)逐一判斷即可;

2)先以為圓心,為半徑畫圓,然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合,找到兩個臨界點,一個臨界點是直線剛好與圓相切時,另一個臨界點是直線剛好過點時,分別求出相應(yīng)的b的值,即可確定b的范圍;

3)根據(jù)題意,找到兩個臨界點,當點E,F在直線左側(cè)時,過點E于點M, 過點M于點N,過點F于點G,當時,利用全等三角形的判定及性質(zhì)求解;當點E,F在直線右側(cè)時,,且直線與圓相切時,設(shè)切點為點K,過點K于點M,利用三角函數(shù)和勾股定理求解.

1 ,

,

∴等腰三角形的腰長為2

,

,且是銳角,滿足條件,

是點關(guān)于點的銳角等腰點;

,但是直角,不滿足條件,

不是點關(guān)于點的銳角等腰點;

,

,不滿足條件,

不是點關(guān)于點的銳角等腰點;

,不滿足條件,

不是點關(guān)于點的銳角等腰點;

綜上所述,是點關(guān)于點的銳角等腰點的是;

(2) 為圓心,為半徑畫圓,

當直線與圓相切時,設(shè)切點為點D,過點D于點E,

,則,令,則,解得

,

,

,

,

設(shè),

,

解得 ,

,

將點D代入中得,,

解得 ;

當直線G點時,此時 ,

將點G代入中得,,

解得 ,

∴實數(shù)的取值范圍為;

(3) 當點E,F在直線左側(cè)時,過點E于點M, 過點M于點N,過點F于點G,

時,

,

,

,

,

,

,

,

將點M代入中得,,

時,直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,

,

當點E,F在直線右側(cè)時,,且直線與圓相切時,設(shè)切點為點K,過點K于點M

,則,令,則,解得

,

,

,

設(shè),

,

解得 ,

,

將點M代入中得,

解得 ;

綜上所述,直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,t的取值范圍為

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1)本次調(diào)查共抽取了多少名學生?

2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;

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