【題目】對于平面內(nèi)的點和點,給出如下定義:點為平面內(nèi)一點,若點使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形,則稱點是點關(guān)于點的銳角等腰點.如圖,點是點關(guān)于點的銳角等腰點.
在平面直角坐標系xOy中,點O為坐標原點
(1)已知點,在點,, ,中,是點關(guān)于點的銳角等腰點的是 ;
(2)已知點,點在直線上,若點是點關(guān)于點的銳角等腰點,求實數(shù)的取值范圍.
(3) 點是軸上的動點,,,點是以點為圓心,2為半徑的圓上一動點.且滿足,若直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,請直接寫出的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)直接根據(jù)銳角等腰點的概念和等腰三角形的性質(zhì)逐一判斷即可;
(2)先以為圓心,為半徑畫圓,然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合,找到兩個臨界點,一個臨界點是直線剛好與圓相切時,另一個臨界點是直線剛好過點時,分別求出相應(yīng)的b的值,即可確定b的范圍;
(3)根據(jù)題意,找到兩個臨界點,當點E,F在直線左側(cè)時,過點E作于點M, 過點M作于點N,過點F作于點G,當時,利用全等三角形的判定及性質(zhì)求解;當點E,F在直線右側(cè)時,,且直線與圓相切時,設(shè)切點為點K,過點K作于點M,利用三角函數(shù)和勾股定理求解.
(1) ,
∴ ,
∴等腰三角形的腰長為2.
∵,
,且是銳角,滿足條件,
∴是點關(guān)于點的銳角等腰點;
∵,
,但是直角,不滿足條件,
∴不是點關(guān)于點的銳角等腰點;
∵,
,不滿足條件,
∴不是點關(guān)于點的銳角等腰點;
∵,
,不滿足條件,
∴不是點關(guān)于點的銳角等腰點;
綜上所述,是點關(guān)于點的銳角等腰點的是;
(2) 以為圓心,為半徑畫圓,
當直線與圓相切時,設(shè)切點為點D,過點D作于點E,
令,則,令,則,解得 ,
∴,
.
,
,
.
,
,
.
設(shè),
,
,
解得 ,
,
,
.
將點D代入中得,,
解得 ;
當直線過G點時,此時 ,
將點G代入中得,,
解得 ,
∴實數(shù)的取值范圍為;
(3) 當點E,F在直線左側(cè)時,過點E作于點M, 過點M作于點N,過點F作于點G,
當時,
∵,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
將點M代入中得,,
當時,直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,
,
;
當點E,F在直線右側(cè)時,,且直線與圓相切時,設(shè)切點為點K,過點K作于點M,
令,則,令,則,解得 ,
∴,
.
,
,
.
,
,
.
設(shè),
,
,
解得 ,
,
,
.
將點M代入中得,,
解得 ;
綜上所述,直線上存在點關(guān)于點的銳角等腰點,t的取值范圍為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2=0有兩個實根x1和x2
(1) 求實數(shù)k的取值范圍
(2) 若方程兩實根x1、x2滿足x12-x22=0,求k的值
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以A、B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M、N;②作直線MN交AC于點D,連接BD.若CD=CB,∠A=35°,則∠C等于( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從A地駛向B地,并以各自的速度勻速行駛,甲車比乙車早行駛2 h,并且甲車途中休息了0.5 h,如圖是甲、乙兩車行駛的路程y(km)與時間x(h)的函數(shù)圖象.
(1)求出圖中m和a的值.
(2)求出甲車行駛的路程y(km)與時間x(h)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的x的取值范圍.
(3)當乙車行駛多長時間時,兩車恰好相距50 km?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,是邊上一點,連接,過作于,交于.
(1)如圖1,連接,當,時,求的長;
(2)如圖2,對角線,交于點.連接,若,求的長;
(3)如圖3,對角線,交于點.連接,,若,試探索與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解學生對中國民族樂器的喜愛情況,某校在全校范圍內(nèi)隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查,要求學生在“古箏、二胡、竹笛、揚琴、琵琶”五個選項中,選取自己喜愛的一種樂器(必選且只選一種),學校將收集到的調(diào)查結(jié)果適當整理后,繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學生?
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有2020名學生,請你估計該校喜愛“竹笛”的學生有多少名.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AB=10,點F是AB的中點,點D、E分別在AC、BC邊上運動,且始終保持DF⊥EF,則△CDE面積的最大值為__.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于E,過點A作∠DAF=∠DAB,過點D作AF的垂線,垂足為F,交AB的延長線于點P,連接CO并延長交⊙O于點G,連接EG.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若AD=DP,OB=3,求的長度;
(3)若DE=4,AE=8,求線段EG的長.
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