Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點D為y軸上一點，其坐標為(0，2)，點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

(1)當點P經(jīng)過點C時，求直線DP的函數(shù)解析式；

(2)如圖②，把長方形沿著OP折疊，點B的對應點B′恰好落在AC邊上，求點P的坐標．

(3)點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x+2；(2)見解析；(3)存在，滿足題意的P坐標為(6， 6)或(6， )或(6，)．

【解析】

（1）設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）①當P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；②當點B的對應點B′恰好落在AC邊上時，關(guān)鍵勾股定理即可求出此時P坐標；（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質(zhì)求出P坐標即可．

(1)∵OA=6，OB=10，四邊形 OACB 為長方形，∴C(6，10)． 設(shè)此時直線 DP 解析式為 y=kx+b，

把(0，2)，C(6，10)分別代入，得 ，解得 ，

則此時直線 DP 解析式為 y=x+2；

(2)①當點 P 在線段 AC 上時，OD=2，高為 6，S=6； 當點 P 在線段 BC 上時，OD=2，高為 6+10－2t=16－2t，S= 1 ×2×(16－2t)=－2t+16；

②設(shè) P(m,10），則PB= =m，如圖 2， ∵=OB=10， OA=6，

∴ ∴=10－8=2，

∵PC=6－m，∴m2=22+(6－m)2，解得m=，則此時點P的坐標是(，10)；

(3)存在，理由為：若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①BD=BPl=OB－OD=10－2=8，在 Rt△BCP1 中，BP1=8， BC=6，

根據(jù)勾股定理得： ，即P1(6，)；

②當BP2= DP2時，此時P2(6，6)；

③當DB=DP3=8時，在Rt△DEP3中，DE=6，根據(jù)勾股定理得：

，∴，即P3 (6，)，

綜上，滿足題意的P坐標為(6， 6)或(6， )或(6，)．