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如圖,把矩形ABCD沿直線AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE與CD交于點(diǎn)O,連接DE.
(1)四邊形ACED是什么圖形?說明理由;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求DE的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)要證明等腰梯形,可看題中給的什么條件更多,在本題中,可通過證三角形全等,得出對(duì)角線之間的等量關(guān)系,因此可利用同一底上兩底角相等的梯形為等腰梯形進(jìn)行論證.
(2)利用(1)中的結(jié)論,結(jié)合勾股定理,可列方程求解.
解答:解:解法一:
(1)四邊形ACED是等腰梯形(1分)
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°,DC=AB,
∴△ADC≌△CBA(SAS),
由折疊可知:△ACE≌△ACB,
∴△ACE≌△ACB≌△CAD;
∴∠1=∠2,AD=CE,CD=AE(1分)
∴OA=OC,
∴OE=OD,
∴∠3=∠4(1分)
而∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠3=∠2,
∴DE∥AC;
∵在Rt△ACE中,∠1+∠ACE=90°;
在Rt△ACD中,∠2+∠DAC=90°,
∴∠DAC+∠ACE<180°,
∴CE與AD不平行;
∴四邊形ACED是等腰梯形;(1分)

(2)在Rt△OEC中,設(shè)EO=x,則x2+32=(4-x)2(1分)
∴x=,(1分)
由△ODE∽△OCA,得=,(1分)
∴DE=cm.(1分)

解法二:
(1)四邊形ACED是等腰梯形
證明:過點(diǎn)D、E作AC的垂線,垂足分別是G、H,則DG∥EH;
∵△ACE≌△ACB≌△CAD,
∴∠ECA=∠DAC,AD=CE;
∴Rt△ADG≌Rt△CEH,
∴DG=EH,
∴四邊形DGHE是矩形,
∴DEGH,
∴DE≠AC,
∴四邊形ACED是等腰梯形;
(2)∵DC=AB=4cm,AD=3cm,∴AC=5cm,
在Rt△ADC中,∵DG•AC=AD•DC,即5DG=3×4,
∴DG=
∴AG===,
∴DE=GH=AC-2AG=5-2×=cm.

解法三:(延長(zhǎng)AD,CE相交于點(diǎn)P,利用全等,勾股定理,相似等解答,類似于解法一,略)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了等腰梯形的判定,相似三角形的判定和運(yùn)用以及勾股定理的應(yīng)用,難易程度適中.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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115°
115°

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