Question

【題目】如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點(diǎn)，⊙O的切線MA與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M；P為AM上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，D為BC上一點(diǎn)且PA=PD，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：；

（2）若ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，求BE的長(zhǎng)；

（3）若MA=，sin∠AMF=，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）連接OA、OE交BC于T．想辦法證明OE⊥BC即可；

（2）由ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，可得EDEA=5，由△BED∽△AEB，可得，推出BE2=DEEA=5，即可解決問(wèn)題；

（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解決問(wèn)題；

試題解析：（1）證明：連接OA、OE交BC于T．

∵AM是切線，∴∠OAM=90°，∴∠PAD+∠OAE=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EDT+∠OEA=90°，∴∠DTE=90°，∴OE⊥BC，∴．

（2）∵ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，∴EDEA=5，∵，∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴，∴BE2=DEEA=5，∴BE=．

（3）作AH⊥OM于H．在Rt△AMO中，∵AM=，sin∠M==，設(shè)OA=m，OM=3m，∴9m2﹣m2=72，∴m=3，∴OA=3，OM=9，易知∠OAH=∠M，∴tan∠OAD==，∴OH=1，AH=．BH=2，∴AB===．