Question

【題目】定義：如圖1，在中，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（）并延長一倍得到，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到，連接．當時，稱是的“倍旋三角形”，邊上的中線叫做的“倍旋中線”．

特例感知：

（1）如圖1，當，時，則“倍旋中線”長為______；如圖2，當為等邊三角形時，“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系為______；

猜想論證：

（2）在圖3中，當為任意三角形時，猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①4，②；（2），證明見解析．

【解析】

（1）如圖1，首先證明，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問題；如圖2，過點A作，易證，根據(jù)易得結(jié)論．

（2）延長到，使得，連接，易證四邊形是平行四邊形，再證明得，故可得結(jié)論．

（1）如圖1，

∵，

∴

∵，

∴

∴

∵BC=4，

∴，

∵D是的中點，

∴AD=;

如圖2，

∵，，

∴

根據(jù)“倍旋中線”知等腰三角形，

過A作，垂足為

∴， ，

∵D是等邊三角形的邊的中點，

且

∴

∴

∴

（2）結(jié)論：

理由：如圖，延長到，使得，連接，

∵，

∴四邊形是平行四邊形

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴