Question

【題目】將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合，DF=8．

（1）若P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA=DF時(shí)，求此時(shí)∠PAB的度數(shù)；

（2）將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．

①探求△CDO的形狀，并說明理由；

②在圖①中，若P是BC的中點(diǎn)，連接FP，將等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時(shí)，FP長(zhǎng)度最大，最大值為 （直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①見詳解；②，.

【解析】

（1）作交BC于點(diǎn)H，由等腰三角形三線合一及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，在中解直角三角形可知BC長(zhǎng)，即知AH長(zhǎng)，，在中解直角三角形可知，分點(diǎn)P在位置和在位置2種情況求解即可；

（2）①利用等腰三角形兩底角相等及三角形外角的性質(zhì)可求得，易知△CDO為等腰三角形；

②由點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，FP長(zhǎng)度最大，可知點(diǎn)F、B、P在同一條直線上，即點(diǎn)P在FB的延長(zhǎng)線上，易知旋轉(zhuǎn)角，求出BP、BF的長(zhǎng)，相加即為FP長(zhǎng).

解：（1）如圖，作交BC于點(diǎn)H，

為等腰直角三角形

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在位置時(shí)，

，

；

當(dāng)點(diǎn)P在位置時(shí)，

，

綜上所述，∠PAB的度數(shù)為或；

（2）①△CDO為等腰三角形.

，即

所以△CDO為等腰三角形；

②點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，FP長(zhǎng)度最大，則點(diǎn)F、B、P在同一條直線上，即點(diǎn)P在FB的延長(zhǎng)線上，如圖所示，

邊旋轉(zhuǎn)了

點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

在中，

所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，FP長(zhǎng)度最大，最大值為.