Question

【題目】定義：若函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，中至少存在一個(gè)值，滿足（或），則稱該函數(shù)為友好函數(shù)．如圖，函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，滿足，稱為友好函數(shù)．

（1）判斷是否為友好函數(shù)，并說明理由；

（2）請(qǐng)?zhí)骄坑押煤瘮?shù)表達(dá)式中的與之間的關(guān)系；

（3）若是友好函數(shù)，且為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）或，且

【解析】

（1）根據(jù)友好函數(shù)的定義，求出函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可進(jìn)行判斷；

（2）先求出函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，再根據(jù)定義，可得當(dāng)x=c時(shí)，y=0，據(jù)此可得出結(jié)果；

（3）分一下三種情況求解：（ⅰ）當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：，進(jìn)而可得出結(jié)果；（ⅱ）當(dāng)在軸正半軸上時(shí)，且與不重合時(shí)，畫出圖像可得出結(jié)果；（ⅲ）當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．

解：（1）是友好函數(shù)．理由如下：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或3，

∴與軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3．

故是友好函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，，即與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

∵是友好函數(shù)．

∴時(shí)，，即在上．

代入得：，而，∴．

（3）（ⅰ）當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：，

即，顯然當(dāng)時(shí)，，

即與軸的一個(gè)交點(diǎn)為．

則，∴只需滿足，即．

∴．

（ⅱ）當(dāng)在軸正半軸上時(shí)，且與不重合時(shí)，

∴顯然都滿足為銳角．

∴，且．

（ⅲ）當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．

綜上所述，或，且．