Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸是直線x＝1．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為15，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）存在點F使四邊形ABFC的面積為15，此時，點F的坐標為（1，）或（3，）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；

（2）連接BF、CF、OF，作FG⊥x軸于點G，設點F的坐標為（t，﹣t2+t+4），用t分別表示出S△OBF、S△OCF、S△AOC，根據(jù)題意列式計算即可．

(1)由題意得，，

解得，，

則拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+4；

(2)連接BF、CF、OF，作FG⊥x軸于點G，

設點F的坐標為(t，﹣t2+t+4)，

∵A(﹣2，0)，拋物線的對稱軸是直線 x=1，

∴B(4，0)．

∴S△OBF=×4×(﹣t2+t+4)=﹣t2+2t+8，

S△OCF=×4×t=2t，S△AOC=×2×4=4，

∵S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OCF=﹣t2+2t+8，

由題意得，﹣t2+2t+8=15，

解得，t1=1，t2=3，

∴存在點F使四邊形ABFC的面積為15，此時，點F的坐標為(1，)或(3，)．