Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P沿著y軸翻折，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)再沿著直線l翻折得到點(diǎn)P1，則P1稱為點(diǎn)P的“l變換點(diǎn)”．

（1）已知：點(diǎn)P（1，0），直線l：x＝2，求點(diǎn)P的“l變換點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)Q和它的“l變換點(diǎn)”Q1的坐標(biāo)分別為（2，1）和（3，2），求直線l的解析式；

（3）如圖，⊙O的半徑為2．

①若⊙O上存在點(diǎn)M，點(diǎn)M的“l變換點(diǎn)”M1在射線x（x≥0）上，直線l：x＝b，求b的取值范圍；

②將⊙O在x軸上移動(dòng)得到⊙E，若⊙E上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N的“l變換點(diǎn)”N1在y軸上，且直線l的解析式為y＝x+1，求E點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（5，0）；（2）y＝﹣5x+4；（3）①﹣1≤b≤2；②﹣4≤t≤+4．

【解析】

（1）根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義，分別畫(huà)出圖形，即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義，得到對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

（3）①根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義，畫(huà)出圖形，求出b的最大值以及最小值即可解決問(wèn)題；

②如圖6中，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E1關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為E′，易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動(dòng)，由此可見(jiàn)當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件，想辦法求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1，點(diǎn)P（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（﹣1，0），再關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)P1（5，0）；

（2）點(diǎn)Q(2，1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(﹣2，1)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)(﹣2，1)和(3，2)的直線的解析式為y=kx+b，

，

解得

k=﹣，b=，

∴y＝﹣x+，

∵點(diǎn)(﹣2，1)和(3，2)關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴直線l過(guò)點(diǎn)(﹣2，1)和(3，2)連線的中點(diǎn)且與直線y＝x+垂直，

∵點(diǎn)(﹣2，1)和(3，2)連線的中點(diǎn)為(，)，

∴設(shè)直線l的解析式為y＝﹣5x+n，

∴＝﹣5×+n，

解得：n＝4，

∴直線l的解析式為：y＝﹣5x+4；

（3）①如圖4中，

由題意b＝M1M′，由此可知，當(dāng)M1M′的值最大時(shí)，可得b的最大值，

∵直線OM′的解析式為y＝x，

∴tan∠M′OD＝，

∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，

∵OM＝2，易知，OM⊥OM′時(shí)，MM′的值最大，最大值為4，

∴b的最大值為2，

如圖5中，易知當(dāng)點(diǎn)M在x軸的正半軸上時(shí)，可得b的最小值，最小值為﹣1，

綜上所述，滿足條件的b取值范圍為﹣1≤b≤2；

②設(shè)E（t，0），如圖6中，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E1關(guān)于直線y＝x+1的對(duì)稱點(diǎn)為E′，易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動(dòng)，由此可見(jiàn)當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件．

連接E1E′交直線y＝x+1于K，易知直線E1E′的解析式為y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴K(，)，

∵KE1＝KE′，

∴E′(，)，

當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí)，||＝2，解得t＝﹣4或+4，

綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為﹣4≤t≤+4．