Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求證：點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上；

（3）以BC為直徑作⊙P，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使直線OD與⊙P相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由條件可求得AC、BC、AB，可證明△ABC為直角三角形，可證得結(jié)論；

（3）由條件可先求得P點(diǎn)坐標(biāo)，連接OD，由切線的性質(zhì)可得到∠POB=∠AOD，過(guò)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)tan∠BOP=tan∠ODF，再結(jié)合D點(diǎn)在拋物線上，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三點(diǎn)，

∴把三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，

解得．

∴拋物線解析式為y=﹣x²+x+；

（2）證明：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，），

∴OA=1，BO=3，OC=，

∴AB=4，

在Rt△AOB中，可求得AC=2，在Rt△BOC中可求得BC=2，

∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，

∴∠ACB=90°，

∵AB為直徑，

∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上；

（3）解：存在．理由如下：

∵B（3，0），C（0，）

∴P（，），

設(shè)直線OP解析式為y=kx，代入=k，解k=，

∴直線OP的y=x，

∴OD為⊙P的切線，

∴OD⊥OP，

∴直線OD的解析式為y=﹣x，

聯(lián)立直線OD和拋物線解析式，解得或，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，），

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，）或（，）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理及其逆定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的步驟，在（2）中證得∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得直線OD的解析式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．