Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²﹣2mx+m²﹣m=o有兩個實數(shù)根a、b；

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）求代數(shù)式a²+b²﹣3ab的最大值．

Answer 1

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；配方法的應(yīng)用．

【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣2m）²﹣4（m²﹣m）≥0，然后解不等式即可；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=2m，ab=m²﹣m，將代數(shù)式a²+b²﹣3ab變形為（a+b）²﹣5ab=﹣m²+5m=﹣（m﹣）²+，即可求出最大值．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得△=（﹣2m）²﹣4（m²﹣m）≥0，

解得m≥0；

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x²﹣2mx+m²﹣m=0有兩個實數(shù)根a、b，

∴a+b=2m，ab=m²﹣m，

∴a²+b²﹣3ab=（a+b）²﹣5ab

=（2m）²﹣5（m²﹣m）

=﹣m²+5m

=﹣（m﹣）²+，

由（1）得m≥0，

∴代數(shù)式a²+b²﹣3ab的最大值為．

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△＞0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△＜0⇔方程沒有實數(shù)根．

也考查了根與系數(shù)關(guān)系，配方法的應(yīng)用．