Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．給出以下結論：①DG＝DF；②四邊形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④當AG＝6，EG＝2時，BE的長為 ，其中正確的結論個數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF，連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關系，過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．

∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．故①正確；

∴DG=GE=DF=EF．

∴四邊形EFDG為菱形，故②正確；

如圖1所示：連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FOAF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GFAF．故③正確；

如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG2=GFAF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG-40=0．

解得：FG=4，F(xiàn)G=-10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即，

∴GH=，

∴BE=AD-GH=4-=．故④正確．

故選D．