Question

【題目】已知A（x,0）,B(0,y),且x，y滿足,且點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱.

（1）求C坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)D在射線BA上，連接CD，若b=4,∠D=∠CBA，求CD長

（3）如圖2，如圖2，BC=2OC，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接 QB,QC,QA，若QB=m，QC=OA，求AQ最大值.

Answer 1

【答案】（1）（-a，0）；（2）16；（3）3a.

【解析】

（1）將式子進(jìn)行配方，利用平方式的非負(fù)性得到x和y的值，然后根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)C作x軸的垂線交AB的延長線于點(diǎn)G，可得到OB為△ACG的中位線，再通過∠D=∠CBA得到CD=CG，即可得到CD的長度；

（3）由于QC=OA，所以點(diǎn)Q是在以C為圓心CQ為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、C、Q三點(diǎn)在同一直線上且Q在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AQ取得最大值，由此求得AQ最大為3a.

解：（1）∵

∴

∴，

∴A（a,0）,B（0，2b），

又∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0）.

（2）過點(diǎn)C作x軸的垂線交AB的延長線于點(diǎn)G，

易得OB∥CG，O為AC的中點(diǎn)，

∴OB為△ACG的中位線，即，

∵b=4，

∴OB=2b=8，CG=2OB=16，

由點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，可得∠ABO=∠CBO=∠DBC，

又∵∠D=∠CBA，

∴∠D=∠ABO，

由OB∥CG，可知∠ABO=∠CGB，

∴∠D=∠CGB，

∴CD=CG=16.

（3）由以上可得，A（a,0）,C（-a，0），

∵QC=OA，

∴所以點(diǎn)Q是在以C為圓心CQ為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)A、C、Q三點(diǎn)在同一直線上且Q在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AQ取得最大值，

此時(shí)AQ=a+a+a=3a.