Question

2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以1cm/秒的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cm/秒的速度移動．
（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t如何變化？請寫出S關于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍．
（2）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過多長時間，△PBQ的面積為8cm²？
（3）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當P、Q兩點運動幾秒時，PQ有最小值，并求這個最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，可設P、Q經(jīng)過t秒，使△PBQ的面積為8cm²，則PB=6-t，BQ=2t，根據(jù)三角形面積的計算公式，S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ，列出表達式，解答出即可；
（2）把S_△PBQ=8代入求得相應的t的值即可；
（3）可設P、Q兩點運動t秒時，PQ有最小值，則PB=6-t，BQ=2t，根據(jù)勾股定理，可得PQ²=BP²+BQ²，代入整理即可求出其最小值；

解答 解：（1）設P、Q經(jīng)過t秒時，△PBQ的面積為8cm²，
則PB=6-t，BQ=2t，
∵∠B=90°，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ=$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=-t²+6t，即S=-t²+6t（0≤t≤6）；

（2）由（1）得到S=-t²+6t．
當S=8時，-t²+6t=8，
解得，t₁=2，t₂=4，
∴當P、Q經(jīng)過2或4秒時，△PBQ的面積為8cm²；

（2）設P、Q兩點運動t秒時，PQ有最小值，
∴PQ²=（6-t）²+（2t）²，
整理得，PQ²=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{144}{5}$，
∴當t=$\frac{6}{5}$時，PQ有最小值為：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查了一元二次方程的應用和二次函數(shù)及其最值，根據(jù)題意，正確表示出邊長及配方法求出最值，是解答本題的關鍵．