Question

13．如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=8，點P為弧AD上一動點，PQ⊥OD于點Q，點I為△OPQ的內(nèi)心，當點P從點A沿弧AD運動到點D時，點I運動的路徑長為2$\sqrt{2}π$．

Answer 1

分析 連OI，PI，DI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧AO取點P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=4$\sqrt{2}$，然后求得∠OO′D=90°，從而可求得點I運動路徑的長度．

解答 解：如圖，連OI，PI，DI，過D、I、O三點作⊙O′，連O′D、O′O，在優(yōu)弧DO取點P′，連P′D，P′O．
．
∵△OPH的內(nèi)心為I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH．
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）．
∵PH⊥OD，
∴∠PHO=90°．
∴∠PIO=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-90°）=135°．
在△OPI和△ODI中$\left\{\begin{array}{l}{IO=IO}\\{∠POI=∠DPI}\\{OD=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPI≌△ODI（SAS）．
∴∠DIO=∠PIO=135°．
∴點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上．
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°-135°=45°．
∴∠DO′O=90°，
∵OD=8，
∴OO′=DO′=4$\sqrt{2}$．
∴劣弧OD=$\frac{1}{4}×2π×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$π．
∴點I運動的路徑長為2$\sqrt{2}π$．
故答案為：2$\sqrt{2}π$．

點評 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形，得出點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上是解答此題的關(guān)鍵．